解因式经典例题 分解因式考什么? 分解因式常用公式

解因式是初中数学及竞赛中的重要考点，其核心考察内容可分为下面内容几类：

一、基础技巧应用

• 公因式法
  核心是通过提取多项式各项的最大公约数和公共字母部分进行分解。例如：

  • 例：分解 \( -am + bm + cm = -m(a – b – c) \)
    需注意符号处理，如首项为负时需提出负号。

• 式法
  考察对平方差、完全平方等公式的灵活运用：

  • 平方差公式：\( a – b = (a + b)(a – b) \)
  • 完全平方公式：\( a \pm 2ab + b = (a \pm b) \)
    要求多项式符合公式结构，如完全平方公式需三项且中间项为两数积的2倍。

• 字相乘法
  适用于二次三项式 \( ax + bx + c \)，需找到两数使其积为常数项、和为一次项系数。例如：

  • \( x – 7x + 12 = (x – 3)(x – 4) \)
    对二次项系数非1的情况需多次尝试分解。

二、进阶技巧

• 组分解法
  将多项式分组后分别提取公因式或应用公式，例如：

  • \( x – x – 2x = x(x – x – 2) = x(x – 2)(x + 1) \) 。

• 项与添项法
  通过拆开某一项或添加辅助项实现分组，例如：

  • \( x + 4 = x + 4x + 4 – 4x = (x + 2) – (2x) = (x + 2x + 2)(x – 2x + 2) \) 。

• 元法与待定系数法
  适用于复杂多项式，如将 \( x + xy – 6y \) 设为 \( (x + ay)(x + by) \) 展开后确定系数。

三、综合应用与变形

• 数式求值与最值难题
  结合因式分解简化计算，例如：

  • 已知 \( a – b = 5 \)，求 \( ab – 2ab + ab \) 的值，需先分解为 \( ab(a – b) \) 再代入。

• 何与实际难题
  通过因式分解判断三角形形状或求解几何条件，例如：

  • 若 \( a + b + c + 338 = 10a + 24b + 26c \)，可变形为 \( (a – 5) + (b – 12) + (c – 13) = 0 \)，得出直角三角形。

• 码学与数论结合
  如利用多项式因式分解生成密码，例如：

  • 多项式 \( x – xy \) 分解为 \( x(x – y)(x + y) \)，取 \( x = 50, y = 20 \) 可生成密码“503070”等。

四、易错点与高阶要求

• 解的彻底性
  需确保分解到每个因式均为最简形式，例如 \( x – 4 \) 在实数范围内分解为 \( (x + 2)(x + \sqrt2})(x – \sqrt2}) \) 。

• 号与系数处理
  如分解 \( -6xyz + 3xy – 9xy \) 时需正确提取公因式 \( -3xy \) 。

• 赛题型
  涉及“和谐数”（如 \( 8 = 3 – 1 \)）或双十字相乘法分解六项式等，需灵活运用技巧。

典型考题示例

• 础题
  分解 \( x – 2x – 8x \)：
  步骤：提公因式 \( x \) → 分解二次项 \( x – 2x – 8 = (x – 4)(x + 2) \) → 结局 \( x(x – 4)(x + 2) \) 。

• 合应用题
  若 \( m + n + 2m – 6n + 10 = 0 \)，求 \( m, n \)：
  变形为 \( (m + 1) + (n – 3) = 0 \) → \( m = -1, n = 3 \) 。

解因式考察的核心能力包括：基本技巧的熟练度、复杂难题的拆解策略、代数与几何的综合应用。备考时需重点掌握公式法、十字相乘法及分组技巧，并通过实际题目强化符号处理和逻辑推理能力。